刘晓红：概率那些事

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第三届全省统计科普征文

在社会和自然界中，我们可以把事件发生的情况分为三大类：在一定条件下必然发生的事件，叫做必然事件；在一定条件下不可能发生的事件，叫做不可能事件；在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。在数学上，我们把随机事件产生的可能性称为概率。严格说来，概率就是在同一条件下，发生某种事情可能性的大小。概率在英文中的名称为probability，意为可能性。我们来看看生活中的几个概率事件。

花上几元钱，买一张彩票，然后就中了几百万乃至几千万的巨额奖金，这大概是很多人梦寐以求的事。可是这样的机会有多大呢？答案可能会令我们大吃一惊。

“下一个赢家就是你！”这句响亮的极具蛊惑性的话是香港六合彩票的广告词。买一张六合彩票的诱惑有多大呢？只要你花上5港币，就有可能获得18万港币（香港历史上最低的头奖）以上的机会。

小小的投资竟然可能得到数额巨大的奖金，怎能不让人动心。很多人都会想：也许真如广告所说，下一个赢家就是我呢！因此自从1976年开始发行到现在，香港已经有超过90%的成年人购买过这种彩票，并且也真的有数以百计的人成为百万富翁。如今在世界各地都流行着类似的游戏，在我国各地也发行了各种福利彩票、体育彩票，充满诱惑的广告满天飞，而报纸、电视上关于中大奖的幸运儿的报道也热闹非凡，因此吸引了不计其数的人踊跃购买。很简单，只要花上几元，就可以拥有这么一次尝试的机会，试一下自己的运气。

但一张彩票的中奖机会有多少呢？让我们以香港六合彩票为例来计算一下。六合彩票的规则是49选6，即在1至49的49个号码中选6个号码。花5港元买一张彩票，你只需要选六个号。在每一轮，有一个专门的摇奖机随机摇出6个标有数字的小球，如果6个小球的数字（数字没有先后顺序）都被你选中了，你就获得了头等奖。可是，当我们计算一下在49个数字中随意组合其中6个数字的方法有多少种时，我们会吓一大跳：

这就是说，假如你只买了一张彩票，六个号码全对的机会是大约一千四百万分之一，这个数小得已经无法想象，大约相当于澳大利亚的任何一个普通人当上总统的机会。如果你每星期买50张彩票，你赢得一次大奖的时间约为5500年；即使每星期买1000张彩票，也大致需要270年才有一次六个号码全对的机会。因此，获奖仅是我们期盼的偶然而又偶然的事件。

那么为什么总有人能成为幸运儿呢？这是因为参与的人数是极其巨大的，人们总是抱着撞大运的心理去参加。孰不知，彩民们就在这样的幻想中为彩票公司贡献了巨额的财富。

直觉也会出错

彩票是否中奖就是个典型的概率事件，但概率不仅仅出现在类似买彩票这样的赌博或游戏中。在日常生活中，我们时时刻刻都要接触概率事件。比如，天气有可能是晴、阴、下雨或刮风，天气预报其实是一种概率大小的预报；又如，今天某条高速公路公路上有可能发生车祸，也有可能不发生车祸；今天出门坐公交车，车上有可能有小偷，也有可能没有小偷。这些都是无法确定的概率事件。

由于在日常生活中经常碰到概率问题，所以即使人们不懂得如何计算概率，经验和直觉也能帮助他们做出判断。但在某些情况下，如果不利用概率理论经过缜密的分析和精确的计算，人们的结论可能会错。举一个有趣的小例子：给你一张美女照片，让你猜猜她是模特还是售货员？很多人都会猜前者。实际上，模特的数量比售货员的数量要少得多，所以，从概率上说这种判断是不明智的。

其实，上面所说的彩票问题也反映了人们对概率自以为是的直觉是多么靠不住。人们在购买彩票时总是只看到那些中了大奖的故事，而不愿去考虑中大奖其实是个最典型的小概率事件，其概率低到根本不值得去买。数学家认为，概率低于1/1000，就可以忽略不计了，而六合彩票中头等奖的概率只有一千四百万分之一，即使是选号范围小一些的彩票，中到头等奖的概率一般也要五百万分之一，这样小的概率居然还有那么多人趋之若鹜。有笑话说全世界的数学家都不会去买彩票，因为他们知道，在买彩票的路上被汽车撞上的概率远高于中大奖的概率。

人们在直觉上常犯的概率错误还有飞机失事事件。也许出于对在天上飞的飞机本能的恐惧心理，也许是媒体对飞机失事的过多渲染，人们对飞机的安全性总是多一份担心。但是，据统计，飞机旅行是目前世界上最安全的交通工具，它绝少发生重大事故，造成多人伤亡的事故率约为三百万分之一，假如你每一天坐一次飞机，这样飞上8200年，你才有可能会不幸遇到一次飞行事故，三百万分之一的事故概率，说明飞机这种交通工具是最安全的，它甚至比走路和骑自行车都要安全。

事实也证明了在目前的交通工具中飞机失事的概率最低。1998年，全世界的航空公司共飞行1800万次喷气机航班，共运送约13亿人，而失事仅10次。而当年仅美国一个国家，在半年内其公路死亡人数就曾达到21000名，约为40年前有喷气客机以来全世界所有喷气机事故死亡人数的总和。虽然人们在乘飞机时总有些恐惧感，而坐汽车时却非常安心。但从统计概率的角度来讲，最需要防患于未然的，却恰恰是我们信赖的汽车。

在概率论中我们把概率很接近于0（即在大量重复试验中出现的频率非常低）的事件称为小概率事件。小概率事件的发生带有一定的偶然性，而小概率事件频发，则说明了一定的必然性。

十二年前，有一个小女孩刚初中毕业就去了法国，开始了半工半读的留学生活。渐渐地，她发现当地的公共交通系统的售票处是自助的，也就是你想到哪个地方，根据目的地自行买票，车站几乎都是开放式的，不设检票口，也没有检票员。

甚至连随机性的抽查都非常少。她发现了这个管理上的漏洞，或者说以她的思维方式看来是漏洞。凭着自己的聪明劲，她利用数理统计知识精确地估算了这样一个概率：逃票而被查到的可能性大约仅为万分之三。

她为自己的这个发现而沾沾自喜，从此之后，她便经常逃票上车。 她还找到了一个宽慰自己的理由：自己还是穷学生嘛，能省一点是一点。

四年过去了，名牌大学的金字招牌和优秀的学业成绩让她充满信心，她开始踌躇满志地推销自己。

但这些公司都是婉言相拒。最后一次，人力经理对于不予录用她给出一个合理的理由。下面的一段对话很令人玩味。

“女士，我们并不是歧视你，相反，我们很重视你。你一来求职的时候，我们对你的教育背景和学术水平都很感兴趣，老实说，从工作能力上，你就是我们所要找的人。”

“那为什么不收天下英才为贵公司所用？ ”

“因为我们查了你的信用记录，发现你有三次乘公交车逃票被处罚的记录。”

“我不否认这个。但为了这点小事，你们就放弃了一个多次在学报上发表过论文的人才？”

“不、不，女士。此事证明了两点：一是你不尊重规则。你擅于发现规则中的漏洞并恶意使用。二是你不值得信任。而我们公司的许多工作是必须依靠信任进行的，因为如果你负责了某个地区的市场开发，公司将赋予你许多职权。为了节约成本，我们没有办法设置复杂的监督机构，正如我们的公共交通系统一样。所以我们没有办法雇用你。”

直到此时，她才如梦方醒、懊悔难当。然而，真正让她产生一语惊心之感的，却是对方最后提到的一句话：道德常常能弥补智慧的缺陷，然而，智慧却永远填补不了道德的空白。

这个“精明”、“缜密”的女孩应引以为戒，否则不利于其健康成长的小概率事件会不会继续在她身上发生呢？

（作者单位：江西省统计局科技环保处）